Resultierende Kraft berechnen für nicht mathematiker :P

[URSHAK]

AW: Resultierende Kraft berechnen für nicht mathematiker

Wirklich elegant ist das Problem mit Vektoren zu lösen, diese stellen eigentlich eine Physikalische korrekte mathematische Beschreibung von Kräften dar, da neben dem "wie Stark" - der (euklidischen) Norm die räumliche Ausrichtung ("wohin") nicht wirklich zu vernachlässigen ist. Gemäß dem Superpositionsprinzip können Kräfte nämlich vektoriell addiert werden! (Das ist das was du eigentlich graphisch machst)

 

[Farouk]

AW: Resultierende Kraft berechnen für nicht mathematiker

was mir jetzt noch fehlt, ist der Rechenweg, wie ich den Cosinus aus den gegebenen Werten errechne.

Du musst hat einfach im Taschenrechner cos 120 eingeben. Dabei musst du nur darauf achten, dass du den Rechner auf Grad eingestellt hast, ohne Rechner müsstest du in einer Tabelle nachschlagen. Einige Werte kann man sich auch auswendig merken z.B. cos 120° = -0.5

Achso, dass das am Rechner direkt geht, hab ich schon gesehen, wollte aber den Rechenweg verstehen aber wenn das im endeffekt eh nur nachschlagen in ner Tabelle ist, kann ich genauso einfach den Taschenrechner nehmen... Dann ist nur noch das Problem, dass ich nen Error kriege wenn ich das alles so hintereinander weg eintippe, und zwar genau dann, wenn ich die Wurzel ziehen will, hab in einem meiner früheren Posts schon mal was dazu geschrieben!

Etwas anderer Ansatz: Rechnung im khartesischen Koordinatensystem. (Also einfach ein normales rechtwinkliges xy-Koordinatenkreuz.). Der Vorteil: Du kannst jede beliebige Kraft in in 2 Kräfte zerlegen: Jeweils eine in x-Richtung und eine in y-Richtung. Zwischen diesen Kräften ist immer ein rechter Winkel. Also kann man dort auch ganz einfach mit "sinus alpha = Gegenkathete / Hypothenuse", "cosinus alpha = Ankathete / Hypothenuse", "tangens alpha = Gegenkathete / Ankathete" und dem Satz des Pythagoras "Hypothenuse c = Wurzel aus (a²+b²) rechnen.

Dein Beispiel mal so vorgerechnet: Man legt den Koordinatenursprung auf den Schnittpunkt der Wirkungslinien der beiden Kräfte und lässt die x-Achse genau in Richtung von F2 verlaufen. (Du solltest dir das aufzeichnen, um das nachzuvollziehen - in deinem CAD-Program(?) sollte F2 waagegerecht verlaufen und F1 im Winkel von 120° dazu dann nach "links oben".)
Dann zerlegt man F1 und F2 in x-Komponente und y Komponente: F1 = F1x + F1y und F2 = F2x + F2y. Die von mir angegebenen Winkel sind alle vom positiven Breeich der x-Achse aus zu messen. Die Beziehungen ergeben sich aus den rechtwinkligen Dreiecken, die man einzeichnen kann.

Für F2 gilt:
F2x = F2 * cos0° = F2 * 1 = F2
F2y = F2 * sin0° = F2 * 0 = 0

Für F1 gilt:
F1x = F1 * cos 120° = F1 * (-0,5) = - 0,5 * F1
F1y = F1 * sin 120° = F1 * 0,866 = 0,866 * F1

Nun addiert man die jeweiligen Komponenten: (FR = gesuchte resultierende Kraft)
FRx = F1x + F2x = - 0,5*F1 + F2 = F2 - 0,5*F1
FRy = F1y + F2y = 0,866 * F1 + 0 = 0,866 * F1

FRx und FRy addiert man nun zu FR: ( Da diese ja rechtwinklig aufeinanderstehen, ganz einfach mit Pythagoras)
FR² = FRx² + FRy²
FR = Wurzel aus [ FRx² + FRy² ] = Wurzel aus [ (F2 -0,5*F1)² + (0,866 *F1)² ]

F1 = 3000N; F2 = 1500N:
FR = Wurzel aus [ (1500N - 0,5*3000N)² + (0,866*3000N)² = Wurzel aus [ (0N)² + (2598N)² ]
FR = Wurzel aus [ (2598N)² ] = 2598N

Damit hast du den Betrag von FR. Nun der Winkel (beta) von FR:
cos(beta) = ( FRx / FR ) --> beta = arccos (FRx / FR ) = arccos(0/259 = arccos(0) = 90°
beta = 90°

( Es geht natürlich auch: beta = arcsin( FRy / FR ) . Theoretisch sollte auch beta = arctan( FRy / FRx ) gehen, in diesem speziellen Fall aber nicht, weil FRx = 0 ist, und man nicht durch 0 teilen kann/darf.)

 

[aph]

AW: Resultierende Kraft berechnen für nicht mathematiker

Wirklich elegant ist das Problem mit Vektoren zu lösen, diese stellen eigentlich eine Physikalische korrekte mathematische Beschreibung von Kräften dar, da neben dem "wie Stark" - der (euklidischen) Norm die räumliche Ausrichtung ("wohin") nicht wirklich zu vernachlässigen ist. Gemäß dem Superpositionsprinzip können Kräfte nämlich vektoriell addiert werden! (Das ist das was du eigentlich graphisch machst)

Jupp. So würde das jeder Physiker machen. Auch Kräfte in Computerspielen werden übrigens als Vektoren berechnet. Für die Resultierende braucht man dann nur noch die beiden Vektoren addieren.

 

[Farouk]

AW: Resultierende Kraft berechnen für nicht mathematiker

Wirklich elegant ist das Problem mit Vektoren zu lösen, diese stellen eigentlich eine Physikalische korrekte mathematische Beschreibung von Kräften dar, da neben dem "wie Stark" - der (euklidischen) Norm die räumliche Ausrichtung ("wohin") nicht wirklich zu vernachlässigen ist. Gemäß dem Superpositionsprinzip können Kräfte nämlich vektoriell addiert werden! (Das ist das was du eigentlich graphisch machst)

Jupp. So würde das jeder Physiker machen. Auch Kräfte in Computerspielen werden übrigens als Vektoren berechnet. Für die Resultierende braucht man dann nur noch die beiden Vektoren addieren.

Das ganze war aber für Nicht-Mathematiker gewollt. Und jemand der bis dato noch nichts mit den Kreisfunktionen zu tun hatte, kennt bestimmt auch nicht die Vektorrechnung. Ganz davon abgesehen, dass auch ich kaum was mit dem Begriff "Superpositionsprinzip" anfangen könnte, wüsste ich nicht, dass sich dahinter das popelige Verschieben von Vektoren verbirgt. Aber auch das ist hier ein Problem: Kräfte lassen sich nicht so frei verschieben wie ortsungebundene Vektoren, sondern nur entlang ihrer jeweiligen Wirkungslinie. Und vor allem brauchen sie bei dieser Aufgabe auch nicht verschoben werden.

 

[Succer]

AW: Resultierende Kraft berechnen für nicht mathematiker

[Text]

Das klingt sogar ein bisschen logisch

Ist aber auch wiederum ein Konstruktiver Ansatz. suche eigentlich nach einer Mathematischen Formel, die ich "mal eben" anwenden kann. Oben sind wir schon mal zu so einer gekommen, allerdings komme ich so auf andere Ergebnisse als mit der Zeichnerischen Methode (erste Zeichnung). Wo liegt da der Fehler?

P.S. "Für nicht mathematiker" sollte heißen: Rechenweg für eben solche erklärt.

 

[aeghistos]

AW: Resultierende Kraft berechnen für nicht mathematiker

Ist aber auch wiederum ein Konstruktiver Ansatz. suche eigentlich nach einer Mathematischen Formel, die ich "mal eben" anwenden kann. Oben sind wir schon mal zu so einer gekommen, allerdings komme ich so auf andere Ergebnisse als mit der Zeichnerischen Methode (erste Zeichnung). Wo liegt da der Fehler?

Es ist praktisch sich erst eine Skizze zu machen, vielfach erschliesst sich der Lösungsweg am schnellsten auf diese Weise.
Ich hätte die Aufgabe auch wie Farouk gelöst, aber dafür bräuchtest du gewisse Kenntnisse in Vektorrechnen und Trigonometrie.
Ich habe mich jetzt mal hingesetzt und die erste Skizze gemacht und erhalte damit dasselbe Ergebnis wie mit den von mir vorgeschlagenen Rechnungen, deiner Formel und Farouks Ansatz.

P.S. "Für nicht mathematiker" sollte heißen: Rechenweg für eben solche erklärt.

Wenn du nie mit Vektoren gearbeitet hast, ist der zeichnerische Ansatz der einfachste. Vektorrechnen ist an und für sich nicht so schwer, du müsstest dich halt einarbeiten.

edit: Apropos Vektoren

 

[Farouk]

AW: Resultierende Kraft berechnen für nicht mathematiker

[Text]

Das klingt sogar ein bisschen logisch

Ist aber auch wiederum ein Konstruktiver Ansatz. suche eigentlich nach einer Mathematischen Formel, die ich "mal eben" anwenden kann. Oben sind wir schon mal zu so einer gekommen, allerdings komme ich so auf andere Ergebnisse als mit der Zeichnerischen Methode (erste Zeichnung). Wo liegt da der Fehler?

Da ist kein Fehler. Du hast doch zeichnerisch 2598N rausbekommen und bei dir ist auch der Winkel zwischen F2 und FR 90°. Alles genau wie bei mir.

Die allgemeine Formel für den Betrag ist:

FR = Wurzel aus [ (F1*cos(alpha) + F2)² + (F1*sin(alpha))² ] (gilt für alpha <=180°)

Herleitung siehe vorheriges Posting, nur dass ich da schon sin(120°) und cos(120°) schon ausgerechnet eingesetzt hatte.
Der dazugehörige Winkel beta zwischen F2 und FR, allgemein:

beta = arccos[ (F1*cos(alpha) + F2) / FR ]

Das das ganze "zeichnerisch" wirkt, liegt daran, dass ich das ja anschaulich vermitteln wollte, so dass du den mathematischen Weg nachvollziehen kannst. Das kann man nicht anders anschaulich vermitteln, als mit Grafik. Denn das ist eben Geometrie, die auf rechtwinkligen Dreiecken basiert. Dabei sollte man dann schon die Dreiecke, Längen und Winkel vor sich sehen.

Der Weg, den ich genommen habe, wird so auch von Ingenieuren (Bauwesen, Maschinenenbau, alles wo Statik eine Rolle spielt) bei komplexeren Problemen angewandt. Vor allen Dingen kommst Du mit einer ganz einfachen Formel nicht mehr weiter, wenn du mal 3 oder mehr Kräfte zu einer resultierenden Kraft zusammensetzen sollst. Und das wirst du bestimmt auch als Tischler, wenn denn Statik eine Rolle spielt.

Wenn in deiner Tischlerlehre Statik drin vorkommt, dann bleibt es wahrscheinlich nicht beim addieren zweier Kräfte. Das könnte man sich dann nämlich eigentlich auch ganz sparen, meiner Meinung nach. Auch (oder gerade) wenn ihr Statik nur grafisch macht, kommt bestimmt noch das Seileckverfahren und die Culmannsche Gerade.

Grafische Lösungen haben durchaus ihren Vorteil: Man im macht im Normalfall weniger Fehler. Beim reinen Rechnen haut man gerne mal Vorzeichenfehler oder so rein und verhaut sich dann richtig. Häufig genug ist die grafische Genauigkeit auch absolut ausreichend für den Alltagsgebrauch. Zu ungenau werden grafische Verfahren erst wenn man mit kleinen Winkeln rumhantiert.

 

[URSHAK]

AW: Resultierende Kraft berechnen für nicht mathematiker

edit: Apropos Vektoren

Das werden jetzt viele verstanden haben :p

 

[aeghistos]

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edit: Apropos Vektoren

Das werden jetzt viele verstanden haben :p

Natürliche Nerd-Selektion.