Wenn ein Käufer gegenüber einem Verkäufer eine Willenserklärung abgibt, das Eigentum an einer (beweglichen) Sache zu erwerben, und der Verkäufer diesem zustimmt, so ist ein Kaufvertrag zwischen den beiden Parteien zustande gekommen.
Dazu bedarf es keiner besonderen (schriftlichen) Form, mündlich ist völlig ausreichend.
Und ein solcher Kaufvertrag ist auch völlig rechtswirksam, wenn kein entsprechender Mangel vorliegt (z.B. eingeschränkte Geschäftsfähigkeit bei Minderjährigkeit, etc.).
EDIT: Soviel zur juristischen Theorie. In der Praxis steht man im Ernstfall vor Gericht mit etwas "Schriftlichem" immer besser da, keine Frage...