[Mathe] Hilfe wie integriere ich eine etwas komplizierte e-Funktion?

[Kreon]

Servus,
meine Mathekenntnisse sind schon so ziemlich eingerostet. Ich sollte folgende Funktion integrieren:
f(x)=y0+a*exp^(-b*x) von 0 bis 240

meine Lösung für

f(x)=a*exp^(-b*x) von 0 bis 240 wäre folgende:
Substitution: u(x)= -b*x --> du/dx=-b --> dx=-1/b*du
Minimum: u(0)= 0
Max: u(240)= -240b

a*[integral von 0 bis 240] e^(-bx) dx --> a*[integral von 0 bis -240b] -1/b * e^u du
-a/b [integral von 0 bis -240b] e^u du --> a/b [integral -240b bis 0] e^u du
a/b * (e^0 - e^(-240b)) ?????

Stimmt das schon mal so? Und wenn ja, wie baue ich dann noch das y0 mit ein?
Bin für jede Hilfe dankbar.

 

[Herbboy]

Ich bin da zwar auch schon eine Weile raus und kann nix zu dem e-Teil sagen, aber: y0 ist doch nichts anderes als der y-Wert bei x=0, aber letztenendes ist es einfach irgendeine Zahl. Da könnte also genausogut c oder d usw. stehen. Insofern müsste dazu die Stammfunktion ganz einfach nur y0*x sein, denn die Ableitung davon ist ja dann y0

 

[Kreon]

y0 gibt den Grenzwert für x--> +unendlich an. Ansonsten hast du schon recht. Nur mit der e-Funktion ist es nicht ganz so einfach, wie du es dargestellt hast. Außerdem bin ich mir ja nicht sicher, ob meine Rechnung für die Funktion ohne y0 überhaupt stimmt, geschweige denn mit y0.

 

[firewalker2k]

Diese e-Funktion lässt sich eigentlich auch ohne Substitution ganz gut lösen (mag ich persönlich nicht besonders ^^):

int {a * exp(-b*x)} = a * int {exp(-b*x)} = a * [-(exp(-b*x))/b] = - (a/b) * exp(-b*x)

Stimmt also alles, was du gemacht hast. Und die Stammfunktion zu y0 ist natürlich - wie schon geschrieben - einfach x*y0 mit den jeweiligen Grenzen eingesetzt. Zumindest alles unter der Annahme, dass auch nach x integriert werden soll

Deine Ergebnisse kannst du übrigens immer gut mit Hilfe von WolframAlpha gegenprüfen

 

[Herbboy]

Nur mit der e-Funktion ist es nicht ganz so einfach, wie du es dargestellt hast.

ich hab doch zur e-Funktion gar nix vorgeschlagen ^^

 

[Kreon]

Deine Ergebnisse kannst du übrigens immer gut mit Hilfe von WolframAlpha gegenprüfen

Wenn ich

int a*exp(-b*x) dx from 0 to 240

in das Webformular eingebe erhalte ich das hier,
was jedoch nicht deiner oder meiner bzw. unserer Lösung entspricht. Oder habe ich Tomaten auf den Augen?

Edit: Mir ist aber immer noch nicht klar wie ich die Formel mit yo zusätzlich integriere. Kommt dann zum - (a/b) einfach noch ein x*y0 dazu, also so:

int {y0 +a * exp(-b*x)} = x*y0+a * int {exp(-b*x)} = x*y0+a * [-(exp(-b*x))/b] =( x*y0+a)/b) * exp(-b*x)

 

[firewalker2k]

a/b * (exp(0) - exp(-240b)) = a/b * (1 - exp(-240b)) = [a - a*exp(-240b)] / b

Die letzte Umformung bei dir ist nicht ganz korrekt. x*y0 kommt noch hinzu, genau - durch + oder - getrennte Terme kannst du immer getrennt integrieren. x*y0 - a*exp(-b*x)/b ist ausreichend

 

[MICHI123]

Bin da auch eingerostet, aber allgemein super hilfreich für mich gewesen im letzetn Semester, ist diese Seite:
Wolfram|Alpha: Computational Knowledge Engine
Das y0 in deiner Rechnung hab ich aber nicht ganz gecheckt, ich hab dafür ein y eingesetzt:
integrate (y+a*(e^(-b*x)) dx) from 0 to 240 - Wolfram|Alpha
Wobei, hier ist das garnicht so schön wie sonst, eigentlich gibt er einem sogar noch den Weg zu dem Integral an, was sehr hillfreich ist, wenn man die Schreibweise bei Wolfram Alpha rausgefunden hat, es gibt Listen wo steht wie man welche Befehle gibt.
Oh, da hast du deinen Post genau editeirt als ich am schreiben war, oder ich habs überlesen ^^

 

[Kreon]

x*y0 - a*exp(-b*x)/b ist ausreichend

Ok, schon mal vielen Dank bis hier her. Aber eine letzte Frage muss noch sein. Wie stelle ich dann das mit den Grenzen [0 bis 240] in diesem Fall an?

[x*y0 - a*exp(-b*x)/b] 0 bis 240 = [240y0 - a exp^(-b*240)/b] - [0*y0 - a*1/b] ????

Edith hat gerade gesehen, dass das hier genau das gleiche ist, was Wolfram auch gesagt hat.
Dann müsste es ja endlich passen